1 引言

780nm激光廣泛應(yīng)用于銣原子激光冷卻與相關(guān)物理實(shí)驗(yàn)，而利用1560nm激光經(jīng)過周期性化鈮酸鋰(PPLN)晶體倍頻得到的780nm激光的方法也已經(jīng)在此類實(shí)驗(yàn)中得到了應(yīng)用。PPLN晶體由于有比較高的有效非線性系數(shù)和高閾值，在倍頻實(shí)驗(yàn)中也得到廣泛的使用，利用PPLN晶體倍頻得到11.4W的780 nm的連續(xù)激光。在入射光功率不斷增大的同時(shí)，晶體受激光加熱的效果也就突顯出來，熱別是晶體處在長期連續(xù)工作狀態(tài)下，這種熱效應(yīng)(TE)就不可避免。在倍頻實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，隨著入射功率的增加，晶體需要的實(shí)際匹配溫度反而下降，其實(shí)就是由于晶體的熱效應(yīng)引起。早在2002年就研究過PPLN倍頻與溫度之間的關(guān)系，并給出了倍頻效率對(duì)應(yīng)的溫度帶寬，從中可以看出倍頻效率對(duì)溫度的變化很敏感，可見溫度在倍頻實(shí)驗(yàn)中的重要性。目前主要是通過Ansys等有限元軟件來計(jì)算仿真晶體熱效應(yīng)[8]，2010年，利用Ansys軟件分析了高功率下磷酸鈦氧鉀(KTP)晶體的熱效應(yīng)，2011年，分析了PPLN的熱效應(yīng)對(duì)倍頻效率的影響。本文介紹了準(zhǔn)相位匹配與溫度的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，引入極化周期的受熱膨脹對(duì)倍頻的影響。通過Comsol有限元軟件熱學(xué)建模，精確地分析了激光穿過后晶體的溫度分布，并深入研究了晶體尺寸、入射光束束腰半徑、功率以及晶體散熱方式對(duì)熱效應(yīng)的影響。

2 準(zhǔn)相位匹配理論分析及其與溫度之間的關(guān)系

2.1 準(zhǔn)相位匹配及其與溫度之間的關(guān)系

對(duì)于準(zhǔn)相位匹配倍頻過程，在小信號(hào)近似下，入射光為基模高斯光束時(shí)，非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)可以寫成如下形式：

式中l為晶體長度，n1表示基頻光的折射率，n2表示倍頻光的折射率，c表示光速，λ1為基頻光波長，ε0為真空介電常數(shù)，Δk=2k1-k2-Km，表示基頻光與倍頻光的相位匹配因子，k1和k2分別為基頻光和倍頻光波矢，Km=m?2π/Λ,Λ為晶體的極化周期，m為準(zhǔn)相位匹配的階數(shù)，一般使用一階，即m=1，非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)的單位為%/W，ξ=l/m為聚焦參數(shù)，表征高斯光束的聚焦和晶體長度之間的制約關(guān)系，當(dāng)ξ=2.84時(shí)[12]有最優(yōu)的束腰半徑，deff=2d33/π,d33為PPLN晶體的有效非線性系數(shù)，這里的deff=17 pm/V。從(1)式可以看到，轉(zhuǎn)換效率和晶體長度、光束的束腰半徑等有關(guān)。

除此之外，Δk對(duì)非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)的影響很大，當(dāng)Δk=0時(shí)，非線性轉(zhuǎn)換效率達(dá)到最大，當(dāng)Δk有一個(gè)偏移量時(shí)，倍頻效率會(huì)快速地下降。

非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)中的折射率和溫度直接相關(guān)，即ne(T,λ)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式：

式中ne表示異常光的折射率，一般在準(zhǔn)相位匹配中使用的是異常光，T表示晶體工作時(shí)的溫度，單位為開爾文(K)，λ表示光波長，單位為納米(nm)。

此時(shí)的相位匹配因子應(yīng)表示為

式中Λ為晶體的極化周期，m一般取一階，即m=1，λ2為倍頻光的波長，通過調(diào)諧晶體的工作溫度T就可以使得Δk=0，即達(dá)到相位匹配。

2.考慮晶體極化周期受熱膨脹下的溫度分布

通過2.1節(jié)的分析可以看出，準(zhǔn)相位匹配是通過調(diào)諧晶體的工作溫度來實(shí)現(xiàn)相位匹配的。此時(shí)不得不考慮，晶體工作在匹配溫度的時(shí)候，由于熱脹冷縮，極化周期也會(huì)發(fā)生變化，又會(huì)影響晶體的匹配溫度。鈮酸鋰晶體在0℃~600℃以內(nèi)的熱膨脹系數(shù)α=2×10-6 K-1，熱膨脹方程為α=?l/(l??t)，可以得到極化周期與溫度之間的關(guān)系，即Λ(T)=Λ?exp[α(T-T0)]，其中，T0表示常溫，取273.15 K。

此時(shí)非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)表達(dá)式也可以重新寫成

式中η=p₂/p₁,為轉(zhuǎn)換效率 ,P1 和 P2 分別為入射光和出射光功率 。

通數(shù)值模擬，給出了晶體尺寸為1 mm×10 mm×40 mm,在入射光波長λ=1560.48 nm，極化周期Λ=19.2μm，考慮晶體的熱膨脹效應(yīng)時(shí)，非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)與溫度的關(guān)系曲線如圖1所示。

從圖1中可以看出，在匹配溫度附近，非線性轉(zhuǎn)換效率對(duì)溫度很敏感，當(dāng)溫度變化為0.5 K時(shí)，非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)就要降低50%，這也突出了分析晶體熱效應(yīng)的重要性；同時(shí)，考慮熱膨脹效應(yīng)后，非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)的分布并未發(fā)生明顯變化，只是有一個(gè)整體平移的效果，圖1中極化周期Λ=19.2μm時(shí)，匹配溫度增加了0.38 K。

圖1 非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)與溫度的關(guān)系

除此之外，出射光功率的穩(wěn)定性也是倍頻過程中的一個(gè)重要指標(biāo)，根據(jù)上述非線性轉(zhuǎn)換效率和溫度之間的關(guān)系，可以算出，當(dāng)要求的功率抖動(dòng)小于10 mW時(shí)，溫度的抖動(dòng)就必須要在1 mK范圍以內(nèi)，可見溫度的抖動(dòng)對(duì)倍頻光功率的影響很大，對(duì)溫控器件的要求當(dāng)然也非常的高。

同時(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，還給出了入射光波長λ=1560.48 nm，晶體長度l=40 mm時(shí)，實(shí)驗(yàn)中常用的幾個(gè)極化周期在考慮和不考慮熱膨脹效應(yīng)的情況下，對(duì)應(yīng)的匹配溫度，如表1所示。

表1 不考慮熱膨脹效應(yīng)和考慮熱膨脹效應(yīng)時(shí)不同極化周期對(duì)應(yīng)的匹配溫度

由述的計(jì)算結(jié)果可以得出，考慮熱膨脹對(duì)極化周期的影響時(shí)，晶體實(shí)際工作的匹配溫度要高于不考慮時(shí)的匹配溫度，而且隨著極化周期的變短，這種熱膨脹效應(yīng)帶來的匹配溫度的修正也變得明顯。這可能也是許多倍頻實(shí)驗(yàn)未能取得和理論計(jì)算結(jié)果相近結(jié)果的一個(gè)原因，第3節(jié)中對(duì)于晶體的非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)的計(jì)算中均把熱膨脹的影響考慮在內(nèi)。

3 1560激光經(jīng)過晶體的有限元分析

由第 2 節(jié)中理論分析可知，相位匹配要通過溫度匹配來實(shí)現(xiàn)，同時(shí)非線性系數(shù)受溫度變化的影響很大，那 么除了有熱脹冷縮的影響外，還不得不考慮入射光對(duì)晶體的加熱效果，稱之為激光加熱晶體的熱效應(yīng) 。

3.1 熱學(xué)模型的建立和晶體的溫度分布

當(dāng)一束激光經(jīng)過晶體的時(shí)候，會(huì)有部分的激光被晶體吸收。激光從入射端面照射入晶體后光強(qiáng)表達(dá)式為

式中Rc表示入射端面的反射率，對(duì)于PPLN晶體，Rc=0.01，α為晶體對(duì)入射光的吸收系數(shù)，α=0.1%/cm，Iz0表示與傳播方向垂直的入射端面上的光強(qiáng)分布，P0表示入射光功率，ω(z)表示z處的束腰半徑，x，y是垂直z方向的橫截面坐標(biāo)。

光在入射晶體后，傳播dz距離，就會(huì)有部分的光被吸收，即

被吸收的光中部分轉(zhuǎn)換為熱能，所以體熱源可以寫成

式中β表示轉(zhuǎn)化為熱能的光能占晶體吸收光能的比重，這里取30%，ω(z)在晶體長度的傳輸范圍內(nèi)可近似等于束腰半徑ω0。

在常溫下PPLN晶體的密度為4.64 g/cm3，導(dǎo)熱系數(shù)為38 W/(m·K)，力學(xué)比熱為630 J/(kg·K)?？紤]到在實(shí)驗(yàn)中，晶體一直處在工作狀態(tài)下，最終晶體的溫度分布不會(huì)隨時(shí)間變化，所以這個(gè)過程可以看作是上述體熱源作用下的一個(gè)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程，則晶體內(nèi)部的熱傳導(dǎo)遵守穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的Poisson方程為

式中 T(r, φ,z) 為晶體中的溫度場(chǎng)分布，Kc   為晶體的熱傳導(dǎo)系數(shù)，Q為晶體的體熱源 。

上述的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程只有在一定的邊界條件下才有解，結(jié)合實(shí)際實(shí)驗(yàn)中遇到的情況，晶體的入射端面和出射端面直接暴露在環(huán)境中，所以只與環(huán)境中的空氣進(jìn)行自然熱對(duì)流交換。在這兩個(gè)端面上可以用Newton冷卻方程q=h(Ts-TL)來描述，其中，q表示熱流密度，Ts晶體的溫度，TL為環(huán)境空氣的溫度，h為對(duì)流交換系數(shù)，空氣的熱交換系數(shù)為3 W/m2 K。其他的4個(gè)面都被晶體夾具包裹，并連接有溫控系統(tǒng)，在建立熱學(xué)模型時(shí)，為了簡單起見，可以認(rèn)為其他的4個(gè)面也是和某種溫度固定的流體進(jìn)行熱交換，只不過熱交換系數(shù)和端面不一樣，結(jié)合材料本身和實(shí)驗(yàn)中的實(shí)際情況，一般取h=150 W/m2 K。

對(duì)于上述方程的求解是通過有限元分析完成的，使用的軟件是Comsol。幾何模型為1 mm×10 mm×40 mm的長方體，材料的導(dǎo)熱系數(shù)、密度和熱容均按照晶體的屬性來設(shè)定，并將晶體的外表面參數(shù)按照上述分析進(jìn)行設(shè)置。取晶體的入射端面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。因?yàn)榫w在工作前，溫控系統(tǒng)會(huì)把晶體加熱到匹配溫度，所以在有限元仿真時(shí)，晶體的初始溫度設(shè)置為匹配溫度，與晶體出射端面和入射端面接觸的環(huán)境溫度設(shè)置為293.15 K，溫控系統(tǒng)在工作時(shí)會(huì)將夾具穩(wěn)定在匹配溫度，所以除去端面的其他四個(gè)面的外界溫度設(shè)置都為匹配溫度。取晶體的極化周期Λ=19.2μm，此時(shí)的匹配溫度T0=318.48 K，當(dāng)入射光功率P0=30 W，束腰半徑ω0=0.1μm時(shí)，可得到晶體總體的溫度分布和出射端面的溫度分布如圖2所示。

圖2 溫度分布 。 (a) 整個(gè)晶體; (b) 射端面

從圖2可以看出，經(jīng)過激光加熱，晶體整體的溫度被提高了0.5 K，且分布不均勻，激光穿過的部分，溫度被提高了0.57 K。在晶體的入射斷面和出射端面上，溫度的分布同樣也不均勻，光束中心的溫度最高，達(dá)到319.04 K，離中心越遠(yuǎn)，溫度越低，圖3(a)為出射端面上y=0，溫度沿著寬度(x軸)的分布，圖3(b)為出射端面上x=0，溫度在y方向的分布?？梢钥闯鰷囟妊刂?em>x或y方向成對(duì)稱分布，但溫度分布在x方向和y方向不一樣，這是因?yàn)閮蓚€(gè)方向的尺度不一樣，導(dǎo)致散熱存在不同。除此之外，溫度在z方向上也成類似的對(duì)稱分布，如圖3(c)所示，可以看到溫度在晶體的中心達(dá)到最大，這是因?yàn)?，隨著激光穿過晶體，在z方向不斷吸收熱量，且在遠(yuǎn)離入射端面時(shí)，散熱只能通過入射端面和與夾具接觸的幾個(gè)側(cè)面完成，溫度不斷增加，到晶體中央時(shí)達(dá)到最大，但是過中央位置后，出射端面的散熱也開始起作用，雖然仍然在吸收能量并轉(zhuǎn)化為熱量，但散熱相比之前要大，所以在不斷靠近出射端面的過程中，晶體的溫度又開始下降，導(dǎo)致溫度在軸向上呈現(xiàn)出以晶體中心線為對(duì)稱軸的對(duì)稱分布。

由于出射端面的溫度存在一定的分布，必會(huì)導(dǎo)致非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)也存在著一定的分布，由3.1節(jié)的分析可知，溫度提高0.5 K時(shí)，轉(zhuǎn)換效率會(huì)下降一半，按照上述仿真結(jié)果，在入射功率P0=30 W并考慮熱效應(yīng)時(shí)，晶體的非線性效率會(huì)下降一半?？梢娫诖蠊β是闆r下熱效應(yīng)對(duì)晶體的倍頻效率影響顯著。

圖3 出射端面(a) x 方向 、(b)  y 方向和 (c) 晶體軸向溫度分布

3.2 考慮熱效應(yīng)時(shí)束腰半徑內(nèi)的溫度場(chǎng)和非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)的分布

激光的倍頻只發(fā)生在基頻光與倍頻光重合的位置，所以轉(zhuǎn)換效率只有在兩束光重合的位置才有意義。假設(shè)基頻光與倍頻光在倍頻過程中始終在束腰半徑位置內(nèi)重合，這種假設(shè)也是比較合理的，因?yàn)樵跍?zhǔn)相位匹配過程中，走離效應(yīng)很小。此時(shí)可以看出，只有分析束腰半徑內(nèi)的溫度分布對(duì)非線性系數(shù)的影響才有實(shí)際的意義，而這一點(diǎn)在其他分析非線性晶體熱效應(yīng)的文章中并未被指出，現(xiàn)在重點(diǎn)看一下晶體出射端面在束腰范圍內(nèi)的溫度分布情況。同樣取入射光功率P0=30 W，束腰半徑w0=0.1 mm時(shí)，得到束腰半徑內(nèi)的三維溫度分布如圖4(a)所示，通過數(shù)值計(jì)算，得到在這種溫度分布下，轉(zhuǎn)換效率的分布情況如圖4(b)所示。

圖4 束腰半徑內(nèi)的三維(a)溫度分布和(b)非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)的分布

從計(jì)算結(jié)果可以看出，在束腰半徑范圍內(nèi)，溫度也呈不均勻分布，在束腰的中心位置溫度達(dá)到最高，當(dāng)遠(yuǎn)離中心時(shí)，溫度會(huì)變低，束腰邊界位置與中心的溫度差有0.003 K，引起這樣分布的一個(gè)很重要的原因是，入射光是基模的高斯光束。而這樣的溫度也足以引起轉(zhuǎn)換效率的不同：從上述計(jì)算結(jié)果可以看出，在出射面的束腰半徑內(nèi)，非線性轉(zhuǎn)換效率呈不均勻分布，束腰中心的非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)比邊緣的低0.1%。

3.3 晶體長度對(duì)晶體熱分布和非線性轉(zhuǎn)換效率的影響

晶體的尺寸是影響倍頻效率的一個(gè)很重要的參數(shù)，首先考慮晶體的長度，同樣在入射光功率P0=30W，束腰半徑w0=0.1mm，采用相同的縱向掃略方式的情況下，可計(jì)算出在不同晶體長度下，晶體出射端面中心的溫度值如圖5(a)所示 。

從圖5(a)可以看出，隨著晶體長度的增加，晶體整體的溫度會(huì)有略微的上升，因?yàn)榫w長度的增加后，激光穿過晶體時(shí)，晶體吸收的總熱量增加，但同時(shí)隨著晶體長度的增加，散熱面的面積也在增加，所以在長度繼續(xù)變長時(shí)，溫度的增加趨勢(shì)趨于變緩。這對(duì)倍頻過程是有利的，因?yàn)榉蔷€性轉(zhuǎn)換系數(shù)隨著晶體的長度增加而變大，而在長度增加的情況下，熱效應(yīng)帶來的溫度變化卻不是很明顯，對(duì)非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)的影響也較小。

溫度隨晶體寬度的變化如圖5(b)所示，可以看出，晶體的溫度隨著寬度的增加而逐漸減小，這是因?yàn)榫w的主要散熱是靠與夾具接觸的上下面和側(cè)面完成的，當(dāng)晶體的寬度增加時(shí)，激光穿過晶體時(shí)被吸收的總熱量并沒有變化，但散熱面卻增加了，導(dǎo)致晶體的溫度下降。在寬度到9mm以后，溫度隨晶體寬度的增加趨于緩慢。

圖5 晶體溫度與晶體(a)長度和(b)寬度的關(guān)系

3.4 入射光功率對(duì)晶體的熱分布的影響

在束腰半徑ω0=0.1mm、晶體尺寸為1mm×10mm×40mm的情況下，通過改變?nèi)肷涔夤β?，得到晶體出射端面中心溫度的變化，如圖6(a)所示，在輸入光功率為2~60W的范圍內(nèi)，溫度和光功率之間成線性關(guān)系，光功率每增加1W，溫度就會(huì)上升0.02K，這樣的線性關(guān)系有利于推算不同入射功率時(shí)，晶體的溫度上升情況。除此之外，還能看到，在不同功率入射的情況下，束腰半徑內(nèi)的溫度分布的變化，以y方向的溫度分布代替整個(gè)束腰的溫度分布，從圖6(b)可以看到，當(dāng)入射功率變大，晶體整體溫度提高的同時(shí)，晶體出射端面的溫度差也在變大。而這種溫度差的變大，必然會(huì)增大非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)在束腰范圍內(nèi)的不均勻性。

圖6 (a) 晶體溫度與入射光功率的關(guān)系; (b) 不同入射光功率下束腰范圍內(nèi)溫度分布

3.5 晶體的散熱方式對(duì)熱分布和非線性轉(zhuǎn)換效率的影響

常用的三種散熱方式的入射端面和出射端面均直接和環(huán)境接觸，通過與環(huán)境中空氣的熱對(duì)流進(jìn)行散熱。第一種散熱方式是晶體的上頂面和兩個(gè)側(cè)面均被導(dǎo)熱性較差的物質(zhì)包裹以保持晶體的溫度，底面連接控溫器件。第二種散熱方式是晶體的上表面被導(dǎo)熱性較差的物質(zhì)覆蓋，兩個(gè)側(cè)面和底面連接控溫器件。第三種散熱方式是晶體的上下表面和兩個(gè)側(cè)面都和控溫器件連接。這三種方式對(duì)應(yīng)的其實(shí)是不同的晶體夾具。在入射光功率P0=30 W，束腰半徑ω0=0.1μm，晶體尺寸為1mm×10mm×40mm的情況下，晶體在出射端面上x=0，y方向的溫度分布如圖7(a)所示。可以發(fā)現(xiàn)，在三種方式中，第一種散熱方式下晶體的整體溫度最高，第二種其次，第三種最小。這是因?yàn)榫蜕崦娑?，第一種散熱方式的散熱面最少，只有一個(gè)底面為主要的散熱面，第二種方式有三個(gè)散熱面，散熱效果明顯比第一種好很多，第三種方式有四個(gè)散熱面，散熱效果比前兩種都要好。同時(shí)還可以看出，由于第一種方式只有一個(gè)底面散熱，溫度分布的對(duì)稱性遭到破壞，同樣第二種也是因?yàn)橛腥齻€(gè)面散熱，溫度分布的對(duì)稱性同樣遭到了破壞，而且分布情況和第一種相反，因?yàn)楹偷谝环N情況相比，第二種的散熱部分正好是第一種方式的不良導(dǎo)熱部分，這兩種散熱方式都會(huì)使溫度分布更加不均勻。第三種散熱方式則比較理想，在y方向呈對(duì)稱分布。綜合上述的分析，在晶體散熱的方式選擇方面，應(yīng)當(dāng)選擇第三種散熱方式，即晶體的4個(gè)面都連接有散熱效果的控溫器件。

重點(diǎn)分析第三種散熱方式中晶體與夾具接觸4個(gè)面的散熱情況，即表面換熱系數(shù)對(duì)熱效應(yīng)的影響，取換熱系數(shù)h為150、900、1500 W/(m2.K)分別對(duì)應(yīng)鋁、紫銅和涂抹導(dǎo)熱硅脂的散熱材料。得到輸出端面內(nèi)x=0，y方向上的溫度分布，如圖7(b)所示。

>由圖7可以看出，傳熱系數(shù)越大，晶體整體的溫度越低，但出射端面上的最高溫度和最低溫度的變化不大，即傳熱系數(shù)的大小并不會(huì)有效地改變晶體的溫度分布情況。

因此，在考慮晶體的散熱時(shí)，最好選用四面包圍的散熱方式和有比較好的散熱特性的材料，如在控溫器件與晶體之間涂抹導(dǎo)熱硅脂等。

圖7 (a) 不同散熱方式對(duì)應(yīng)的束腰范圍內(nèi)的溫度分布; (b) 不同傳熱系數(shù)對(duì)應(yīng)的束腰范圍內(nèi)的溫度分布

4 結(jié)論

結(jié)合1560nm激光經(jīng)PPLN晶體倍頻至780nm的實(shí)例，精確計(jì)算了考慮晶體極化周期的熱膨脹效應(yīng)時(shí)非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)與溫度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)考慮熱膨脹時(shí)，晶體的匹配溫度比沒有考慮時(shí)要高，并指出非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)受溫度變化的影響比較大。通過有限元計(jì)算得到在入射光功率P0=30 W，晶體尺寸為1mm×10mm×40mm，ω0=0.1mm情況下，倍頻過程中晶體的三維熱溫度布和出射端面的溫度分布，并分析計(jì)算了晶體尺寸、入射光束腰半徑、入射光功率和三種不同散熱方式對(duì)熱效應(yīng)的影響，得出如下結(jié)論：1)晶體的溫度呈一定的對(duì)稱分布，不均勻；2)晶體的長度對(duì)晶體溫度增加的影響不明顯，寬度影響較大，寬度越大，散熱越好，在實(shí)驗(yàn)條件允許的情況下，選用寬的晶體有利于散熱；3)入射光功率和溫度成正比；4)使用良導(dǎo)熱的材料包裹晶體的上下面和兩個(gè)側(cè)面的散熱方式有利于晶體的散熱，且能使晶體的溫度分布更加均勻。

所做計(jì)算和分析對(duì)提高倍頻實(shí)驗(yàn)的轉(zhuǎn)換效率和研究晶體在倍頻過程中的溫度分布有一定的參考意義。